Pelix World

Il mondo di Flatlandia porta in sè reminescenze swiftiane e carrolliane, ma lo humor bonario di Alice nel paese delle meraviglie, che ritroviamo in qualche non-sense apprezzabile solo nel testo originale (ad es. vale citare il gioco di parole fra square, tradotto "quadrato", e squire, tradotto come "gentiluomo", ed in Flatlandia i quadrati appartengono appunto alla classe dei gentiluomini), tende a trasformarsi in una visione quasi terroristica di una società costruita secondo il rigore di una gerarchia geometrica. Il testo è corredato di disegni geometrici che contribuiscono a spiegare come sia organizzata la vita e la visione di essa su di un universo totalmente piatto in cui gli abitanti non possono vedersi nella loro totalita', ma solo riconoscersi al tatto, o dedursi dalla vista dei lati.

CACCIA ALLE EXTRA-DIMENSIONI

Abbiamo detto di Flatlandia che si tratta di un capolavoro "matematico", ma ora non dilunghiamoci troppo sull'aspetto scientifico del libro.

Il microcosmo di Flatlandia è assolutamente divertente per le descrizioni che contiene in questo mondo bidimensionale, che ha un campo visivo forzatamente limitato a una linea monocroma, i cui abitanti sono costretti ad escogitare incredibili sistemi di riconoscimento e stili e modalità di vita che vengono raccontati dal Quadrato, protagonista del libro.

Al di là di tutto ciò che si può trovare in Flatlandia, una delle letture preferiteda matematici e scienziati, non si perda di vista lo scopo ultimo dell'Autore, ovvero l'arricchimento della nostra immaginazione.

Il Signor Quadrato vive felice nel suo mondo a due dimensioni ed è incapace di concepirne una terza, ma, nel corso della storia, quale novello Gulliver dei mondi extra-dimensionali, verrà prima sbalzato in un mondo ad una sola dimensione, Lineland, dove gli abitanti vivono allineati lungo una riga e sono incapaci di credere all'esistenza di una seconda dimensione, e di seguito farà l'incontro di una sfera, essere "quasi divino" che lo accompagnerà alla scoperta della terza dimensione con il bellissimo motto "verso l'Alto, non verso il Nord !“.

Lungo questo percorso, il reverendo Abbott accompagna il lettore a riflettere sulla possibile esistenza di una quarta dimensione spaziale, se non addirittura di una quinta, sesta, settima, e alla via così.

Proviamo ora a seguire uno dei tipici ragionamenti “per analogia” indagati dal reverendo Edwin Abbott.

Innanzitutto chiediamoci: che cosa vede un abitante di Lineland ? Il suo orizzonte visivo si limita ad un punto poiché il suo mondo è una linea e per lui nulla esiste al di fuori di essa.

Continuamo a ragionare “per analogia”.

Che cosa vedrà un abitante di 4D-landia ? Rispondere a questa domanda è di fatto molto complicato, a parte l’intuizione, ma solo “analogica”, che vedrà “tridimensionale”, ma nel "vero" senso della parola.

Per gli abitanti di Flatland il nostro emissario avrebbe poteri a dir poco sovrannaturali, essendo, dal loro punto di vista, in grado di cogliere con un solo colpo d’occhio “sopra, sotto, davanti, dietro, dentro e fuori”. Insomma, per il povero flatlander noi saremmo degli esseri con poteri “divini”, e, in effetti, pensandoci bene saremmo in grado di estrarre una moneta da una bottiglia chiusa, cosi come liberare un prigioniero dalla sua cella, semplicemente “sollevandoli” lungo la terza dimensione. Similmente saremmo anche in grado di “invertire” la posizione degli organi di un essere bidimensionale, ruotandolo nella terza dimensione, cosi come potremmo agire direttamente sui suoi organi interni senza dover attraversare la sua epidermide. Tutto questo avrebbe decisamente del “miracoloso” per il nostro flatlander.

Ma come ci “percepirebbe” un flatlander ? Come infinite sezioni idimensionali di diversa forma e colore, ma con in più la difficoltá di riuscire a rappresentarsi nella loro mente un’entitá propriamente “tridimensionale”.

Se volessimo ora far comprendere un cubo ad un abitante di Flatlandia, potremmo “smontare” il cubo fino a ridurlo in elementi bidimensionali, osservabili nel piano dimensionale dei flatlander.

E cosa “vedrebbe” il flatlander qualora decidessimo di rimontare il cubo ? Vedrebbe progressivamente sparire le sei facce del cubo dal suo mondo, finchè ne rimarrà soltanto una.

A questo punto come si presenterebbe un ipercubo di dimensione quattro “smontato” nelle nostre tre dimensioni ?

Nella figura riportata qui a fianco è rappresentato un ipercubo di dimensione quattro, altrimenti detto anche "tesseratto", che un abitante della quarta dimensione ci ha gentilmente "smontato" per farcelo vedere nelle sue componenti elementari tridimensionali.

Anche in questo caso, in perfetta analogia con il caso bidimensionale, se il tesseratto venisse rimontato nella quarta dimensione, vedremmo progressivamente sparire i vari cubetti, finchè ne resterà soltanto uno.

Un altro metodo per cercare di far comprendere un cubo ad un abitante di Flatlandia potrebbe essere quello di proiettare l’ombra del cubo sul loro piano dimensionale.

Qualora la proiezione avvenisse su un piano parallelo, nell’ombra potremo riconoscere le 6 facce proiettate, 2 in forma di quadrati, le altre 4 in forma di trapezi; qualora invece la proiezione di partenza non avvenisse su di un piano parallelo al piano di proiezione, avremo a che fare con un disegno più complesso, con quadrilateri meno regolari, ma comunque saremo sempre in grado di riconoscere le 6 facce, o comunque di intuirle come tali.

Ora, sempre per analogia, passiamo al complesso mondo 4D ed immaginiamo di “proiettare” il nostro ipercubo di dimensione 4 all’interno di un "semplice" mondo tridimensionale.

Nell’ombra tridimensionale qui sopra riportata possiamo riconoscere le proiezioni più o meno regolari di 8 esaedri, 2 in forma di cubi, gli altri 6 in forma di esaedri; qualora la proiezione di partenza non avvenisse su di un piano parallelo al piano di proiezione, avremo a che fare con un disegno più complesso, con esaedri meno regolari, ma comunque saremo in grado di riconoscere gli 8 esaedri, o comunque di intuirli.

Al termine di questa nostra passeggiata virtuale all'interno della quarta dimensione non so veramente cosa sia riuscito a comunicarvi o a farvi comprendere, comunque spero almeno di aver stimolato in voi la consapevolezza o almeno la curiosità di comprendere che altre dimensioni "spaziali" potrebbero veramente esistere, ed una branchia della nostra scienza sta di fatto indagando questa possibilità.

Caccia alla quarta dimensione con Carl Sagan (sottotitolato)

Una riflessione sulle dimensioni e su una ipotetica quarta dimensione.

Analogamente, che cosa vede un abitante di Flatland ? Il suo orizzonte visivo si limita ad una linea poiché il suo mondo è un piano e per lui nulla esiste al di fuori di esso. Nella figura qui a fianco vediamo come il quadrato giallo vede il suo amico quadrato rosso.

E noi cosa vediamo in qualità di abitanti di un mondo tridimensionale ? La nostra visione binoculare ci consente di valutare le distanze, ma quello che riusciamo di fatto a “vedere” si limita ad un piano bidimensionale.

Approfondiamo il concetto di visione tridimensionale.

Proviamo a pensare, sempre per analogia, come un nostro “emissario” tridimensionale si rapporterebbe con un mondo bidimensionale. Notiamo subito che potrebbe apprezzare, con un semplice colpo d’occhio, tutto quello che è contenuto nella stanza, sia esso “dentro” che “fuori” da muri e pareti.

Per il nostro emissario è possibile vedere l’abitante bidimensionale, anche se lui pensa di essere al sicuro “chiuso” in casa sua. Allo stesso modo può vedere gli oggetti “chiusi” all’interno della sua cassaforte.

E, similmente, come percepiremmo noi, esseri “tridimensionali”, un abitante di 4D-landia ? Per analogia, così come un flatlander sarebbe in grado di percepire solo sezioni 2D delle entità tridimensionali che attraversano il suo piano, noi saremmo in grado di percepire "sezioni" tridimensionali delle entità quadrimensionali che attraversano il nostro spazio. Onde cercare di comprendere cosa può voler dire percepire sezioni tridimensionali di un’entità quadrimensionale, partiamo da una entità quadrimensionale delle più “semplici”, ovvero un ipercubo di dimensione quattro.

Di fatto conosciamo bene il suo fratellino “minore”, ovvero il “cubo”: come possiamo fare adesso per rappresentare nella nostra mente un cubo che “vive” in una dimensione superiore, nello specifico la “quarta” ? Dobbiamo fare uno sforzo di immaginazione di fatto simile a quello necessario al nostro amico flatlander per comprendere il nostro spazio tridimensionale.

In conclusione, emulando il nostro amico Quadrato, potremmo dire:
"Verso la quarta dimensione, non verso l'alto !"